Dimensión en álxebra e xeometría

Traballo Fin de Grao en Matemáticas. Curso 2021-2022As variedades alxébricas son os subconxuntos do espazo afín determinados por un sistema de ecuacións polinómicas. A falta dun análogo do teorema da función inversa provoca que a noción de dimensión neste tipo de conxuntos requira a introdución de nocións de dimensión no contextodos aneis conmutativos. O obxectivo deste traballo é analizar as propiedades que debe verificar unha definición de dimensión neste ámbito e estudar a dimensión de Krull como definición apropiada. Veremos varios resultados que nos brinda, como se aplica ao caso das variedades alxébricas e distintas caracterizacións que a relacionan con outros aspectos xeométricos.Algebraic varieties are defined as the set of points satisfying a system of polynomial equations. The lack of a result akin to the inverse function theorem implies that the notion of dimension concerning this kind of sets demands the introduction of notions of dimension within the context of commutative rings. The aim of this dissertation is to analyze the conditions that a dimension definition must satisfy in this field and to study the Krull dimension as an appropriate definition. We will see several results about it, how we may apply it to algebraic varieties and some characterizations that connect it with other geometric aspects

Aneis de Hilbert

Orientador: Hu ShengDissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação CientíficaResumo: Não informado.Abstract: Not informed.MestradoMestre em Matemátic

A recíproca de um teorema bem conhecido sobre anéis noetherianos

É bem conhecido que dados R, S anéis tais que R C S e S um R módulo finitamente gerado,se R é um anel noetheriano então S é um anel noetheriano. O objetivo deste trabalho será de apresentar a recíproca desse teorema feito por Paul M. Eakin Jr. , isto é, se Sé um anel noetheriano então R é um anel noetheriano.It 's well known for R, S rings such that R C S and S is finitely generated module R , if Ris a noetherian ring then S is a noetherian ring.The objective this job will be to present a converse this theorem that it was done by Paul M. Eakin Jr. He told that if S is a noetherian ring then R is a noetherian ring

Sigma-invariants of groups and homological n-(n+1)-(n+2) conjecture

Orientadores: Dessislava Hristova Kochloukova, Lucio CentroneTese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação CientíficaResumo: Um grupo $G$ é de tipo homológico $FP_n$, com $n \geq 0$, se possui uma resolução projetiva de tipo finito do $\Z G$-módulo trivial $\Z$ do tipo $$P_n \to P_{n-1} \to \ldots \to P_0 \to \Z \to \textbf{0}.$$ Dizemos ainda que um grupo $G$ é de tipo homotópico $F_n$ se o mesmo for de tipo homológico $FP_n$ e for finitamente apresentável. A Conjectura $n$-$(n+1)$-$(n+2)$ (Homotópica) afirma que, para $n \geq 0$, dadas duas sequências exatas curtas de grupos $N_1 \hookrightarrow G_1 \overset{\pi_1}{\twoheadrightarrow} Q$ e $N_2 \hookrightarrow G_2 \overset{\pi_2}{\twoheadrightarrow} Q$, se $N_1$ é de tipo homotópico $F_n$, ambos $G_1$ e $G_2$ são de tipo homotópico $F_{n+1}$ e $Q$ é de tipo homotópico $F_{n+2}$, então o produto fibra $P$ de $G_1$ e $G_2$ associado a $\pi_1$ e $\pi_2$ é de tipo homotópico $F_{n+1}$. Tal conjectura ainda permanece como um problema em aberto. Inspirada na conjectura acima temos uma versão homológica da mesma cujo enunciado é o mesmo trocando-se "tipo homotópico $F_n$" \ por "tipo homológico $FP_n$". Nesta Tese de Doutorado, conseguimos resolver alguns casos particulares da Conjectura $n$-$(n+1)$-$(n+2)$ Homológica. Casos estes análogos aos resolvidos por B. Kuckuck com respeito à Conjectura $n$-$(n+1)$-$(n+2)$ (Homotópica). Entretanto, nossas técnicas para abordar o problema diferem essencialmente das técnicas usadas por B. Kuckuck, uma vez que os grupos analisados em nosso problema não são finitamente apresentáveis. Em outra frente, trabalhando em outro problema, foram também estudados $\Sigma$-invariantes, grupos limites e grupos residualmente livres. Grupos limites possuem descrição puramente algébrica, no entanto possuem também descrições topológicas, que têm se mostrado, na literatura, mais úteis para manipulação desses grupos. Já um grupo residualmente livre $G$ é aquele que possui a seguinte propriedade: $$\displaystyle\bigcap_{N \lhd G \atop G/N \textrm{ é livre}}N = \textbf{1}.$$ O segundo problema que atacamos foi descrever $\Sigma$-invariantes de um grupo residualmente livre finitamente apresentável. O resultado que obtivemos foi uma descrição parcial de tais $\Sigma$-invariantesAbstract: A group $G$ is of homological type $FP_n$, with $n \geq 0$, if it has a projective resolution of finite type of $\Z$ as trivial $\Z G$-module $$P_n \to P_{n-1} \to \ldots \to P_0 \to \Z \to \textbf{0}.$$ Moreover, we say that a group $G$ is of homotopic type $F_n$ if it has homological type $FP_n$ and it is finitely presented. The (Homotopic) $n$-$(n+1)$-$(n+2)$ Conjecture claims that: for $n \geq 0$, given two short exact sequences of groups $N_1 \hookrightarrow G_1 \overset{\pi_1}{\twoheadrightarrow} Q$ and $N_2 \hookrightarrow G_2 \overset{\pi_2}{\twoheadrightarrow} Q$, if $N_1$ is of homotopic type $F_n$, both $G_1$ and $G_2$ are of homotopic type $F_{n+1}$ and $Q$ is of homotopic type $F_{n+2}$, then the fiber product of $\pi_1$ and $\pi_2$ is of homotopic type $F_{n+1}$. This conjecture remains as an open problem still now. Inspired by the conjecture above, we have a homological version of that conjecture whose claim is the same except changing "homotopic type $F_n$" \ to "homological type $FP_n$". In this Doctoral Thesis, we have succeeded in solving some particular cases of Homological $n$-$(n+1)$-$(n+2)$ Conjecture. These particular cases are analogous to those had solved by B. Kuckuck in the (Homotopic) $n$-$(n+1)$-$(n+2)$ Conjecture. However, our technical approach profoundly differs from Kuckuck's topological approach, since the analysed groups in our work are not finitely presented. In another front, working at another problem, we have also studied $\Sigma$-invariants, limit groups and residually free groups. Limit groups have purely algebraic description, but there is a topological account of these groups as well. This topological approach has showed more useful to manipulate these groups in literature. For another hand, a residually free group $G$ is defined as a group that has the following property: $$\displaystyle\bigcap_{N \lhd G \atop G/N \textrm{ is free}}N = \textbf{1}.$$ The second problem that we attacked was to describe $\Sigma$-invariants of a finitely presented residually free group. The main result was a partial description of such that $\Sigma$-invariantsDoutoradoMatematicaDoutor em Matemática140718/2016-8CNPQCAPE

Conjuntos algébricos: propriedades e resultados

This work presents an elementary introduction to the domain of Algebraic Geometry, focusing on one of the main study objects in the area: algebraic sets. The paper aims to describe concepts and properties of algebraic sets from an algebraic, geometric and analytical point of view. Classical theorems, such as Hilbert's Basis Theorem and Hilbert's Nullstellensatz, the Zariski's Topology and the notions of algebraic variety, coordinate ring, local ring, multiplicity and dimension were explored throughout this work. For this construction, we have previously studied contents regarded as prerequisites, such as definitions and basic results of Linear Algebra, Abstract Algebra and Topology.Pesquisa sem auxílio de agências de fomentoTrabalho de Conclusão de Curso (Graduação)Este trabalho apresenta uma introdução elementar ao domínio da Geometria Algébrica, tendo como foco um dos principais objetos de estudo da área: conjuntos algébricos. O trabalho visa descrever conceitos e propriedades de conjuntos algébricos do ponto de vista algébrico, geométrico e analítico. Teoremas clássicos, como o Teorema da Base de Hilbert e o Teorema de Zeros de Hilbert, são demonstrados. A Topologia de Zariski e as noções de variedade algébrica, anel de coordenadas, anel local, multiplicidade e dimensão são exploradas no decorrer do trabalho. Para esta construção foram estudados, previamente, conteúdos considerados pré-requisitos, como definições e resultados básicos de Álgebra Linear, Álgebra Abstrata e Topologia

Os fatores invariantes de modulos sobre aneis de Dedekind

Orientador: Paulo Roberto BrumattiDissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação CientíficaResumo: Não informado.Abstract: Not informed.MestradoMestre em Matemátic

Um estudo topologico sobre aneis de valorização de Dubrovin

Orientador: Antonio Jose EnglerTese (doutorado ) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação CientificaResumo: Neste trabalho é feito um estudo topológico dos anéis de valorização de Dubrovin em um anel artiniano simples. A motivação para esta abordagem é o Teorema de Kowalski e Dürbaum, que classifica as V-topologias em um corpo como sendo geradas por anéis de valorização ou por valores absolutos deste corpo. A partir de um anel de valorização de Dubrovin R do anel artiniano simples Q, é definida a topologia dos R-ideais em Q. Propriedades da topologia dos R-ideais são verificadas, e esta topologia é relacionada com a topologia J(R)-ádica, e com a topologia gerada por uma função valorização em Q. É introduzido o conceito de V-topologias para os anéis artiniano simples, possibilitando classificar tais V-topologias em Q como sendo geradas por anéis de valorização de Dubrovin ou por normas em Q, e provar que toda V-topologia é localmente limitada. As topologias geradas por anéis de valorização de Dubrovin são caracterizadas como topologias localmente limitadas, que possuem uma vizinhança limitada da origem aditivamente fechada e cuja restrição ao centro é uma V-topologia deste corpoAbstract: Dubrovin valuation rings in simple artinian rings are studied topologically. The motivation is the Theorem due to Kowalski and Dürbaum which ensures that any V-topology over a field is generated by means of a valuation ring or an absolute value of the field. Beginning from Dubrovin valuation ring R in the simple artinian ring Q, a topology namely R-ideal topology is defined. Properties of the R-ideal topology are proved, and this topology is connected with J(R)-adic topology, and also with the topology produced by a value function in ring Q. The concept of V-topology for artinian simple ring is introducted in order to obtain a classification of V-topologies in Q. These V-topologies are generated exactly by Dubrovin valuation rings or norms in Q. It is also shown that every V-topology in Q is locally bounded. The topologies generated by Dubrovin valuation rings in Q are characterized through locally bounded topologies with a bounded neighbourhood of zero that is closed by sums, and the restriction of this topology over your center is a V-topogical fieldDoutoradoDoutor em Matemátic

Bases integrais para extensões biquadraticas sobre subcorpos quadraticos

Orientador: Paulo Roberto BrumattiDissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação CientíficaResumo: Não informado.Abstract: Not informed.MestradoMestre em Matemátic

Uma jornada aos anéis de Gorenstein

This work has as main goal to make a detailed study of Gorenstein rings and your role in local duality theory. At the beginning, some pre-requisites are studied like the Krull dimension of modules, Koszul Complexes and Cohen-Macaulay rings. Concerning to this last topic, we studied in more detail the regular rings and the complete intersection rings. We showed that all this rings are Gorenstein. Also, we present the characterization of Gorenstein rings in terms of the concept of type of a ring. Ultimately, we present the concept of canonical module, highlighting your role in Local Duality Theory over maximal Cohen-Macaulay modules.Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPESEsta dissertação tem como objetivo principal fazer um estudo detalhado dos anéis de Gorenstein e seu papel na teoria de dualidade local. Iniciamos estudando alguns pré-requisitos como dimensão de krull de módulos, complexos de Koszul e anéis Cohen-Macaulay. Neste último tópico, estudamos com mais detalhes os anéis regulares e de interseção completa. Mostramos que todos estes anéis são Gorenstein. Caracterizamos os anéis de Gorenstein a partir do conceito de tipo de anel. Por fim, estudamos o modulo canônico, destacando seu papel na teoria de dualidade local sobre anéis Cohen-Macaulay máximos.São Cristóvã

Conexidade dos esquemas de Hilbert e Quot de pontos sobre os espaços afins C2 e C3

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada, Florianópolis, 2016.Exibiremos uma bijeção entre o esquema Quot de n pontos sobre o espaço afim C^d e um espaço de d matrizes n por n que são nilpotentes e comutam entre si e que satisfazem uma condição de estabilidade módulo uma ação de GLn(C) que é dada pela conjugação, tal resultado é uma generalização do caso feito por Baranovsky. Feito isso, mostraremos a irredutibilidade do esquema Quot sobre o espaço afim C^2, também feita por Baranovsky e, em seguida, estudaremos a conexidade do esquema Quot nos casos particulares de d=2,3 e n=2,3,4.Abstract : We exhibit a bijection between the Quot scheme of n points over the affine space C^d and some space of d nilpotent matrices n by n commuting with each other and satisfying a stability condition modulo some GLn(C) action given by conjugation, this result was proved by Baranovsky. With that done, we show the irreducibility of the Quot scheme over the affine space C^2 wich was done also by Baranovsky and, after that, we study the connectedness of the Quot scheme in the particular cases of d=2,3 and n=2,3,4